Astronomie

Comment peut-on déterminer l'angle entre la ligne des nœuds et le grand axe de l'orbite de Mars ?

Comment peut-on déterminer l'angle entre la ligne des nœuds et le grand axe de l'orbite de Mars ?


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Ce que je cherchais vraiment, c'était la différence de longitude sur l'orbite de Mars entre son aphélie et le point où l'axe du pôle nord de Mars pointerait vers le Soleil (sostice d'été nord).
J'ai découvert avec cet article de la Planetary Society que la longitude solaire (Ls) est de 90⁰ pour le solstice d'été du nord et que Mars est à l'aphélie à Ls = 70⁰.

Je sais que lorsque l'été nordique est sur Mars, le rayonnement solaire à sa surface a un minimum de 492 W/m², ce qui signifie que c'est aussi le moment où Mars est le plus éloigné du Soleil.
Cela coïnciderait donc quelque peu avec le pôle nord de Mars pointant vers le Soleil.

Mais quel est exactement l'angle entre la ligne des nœuds et le grand axe de son orbite ?


Le nom de cet angle est l'argument de périapsis.

L'argument de Périapsis (ou dans ce cas, Périhélie, puisque Mars orbite autour du Soleil) est l'angle, dans le plan de l'orbite, mesuré dans le sens du déplacement autour de l'Orbite, à partir du Nœud Ascendant, à travers le corps en orbite, au périapse de l'objet en orbite.

La page Planetary Systems de Princeton répertorie l'argument du périhélie de Mars comme $286.5°$ en 2006.

Cela rendrait l'angle intérieur entre le grand axe de Mars et la ligne de nœuds à être $360°-286.5° = 73.5°$, depuis 2006.


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    Cette section examine certains points plus fins du mouvement planétaire et est principalement destinée aux utilisateurs avancés, qui peuvent se demander comment le mouvement orbital est réellement dérivé. Pour d'autres, cela donne un aperçu de la complexité des calculs orbitaux et n'est pas requis ailleurs dans "Stargazers".

Comme indiqué précédemment, le mouvement d'un satellite (ou d'une planète)
dans son orbite elliptique est donnée par 3 "éléments orbitaux":

(1) Le demi-grand axe une, la moitié de la plus grande largeur de l'ellipse orbitale, ce qui donne le Taille de l'orbite.

(2) Le excentricité e, un nombre de 0 à 1, donnant le façonner de l'orbite. Pour un cercle e = 0, des valeurs plus élevées donnent des cercles progressivement plus aplatis, jusqu'à e = 1 où l'ellipse s'étend à l'infini et devient une parabole. Les orbites de toutes les grandes planètes sont assez proches des cercles : celle de la Terre, par exemple, a e=0.0167

(3) Le signifie anomalie M, un angle croissant à un rythme constant, augmentant de 360 ​​degrés à chaque orbite

M = M(0) + 360°(t / T)

M(0) est la valeur de M au moment t=0 et T est la période orbitale. Compte tenu de ces chiffres, M est facilement calculé pour tout moment t.

Cependant, la position réelle du satellite est donnée par le vraie anomalie φ. En coordonnées polaires (r,f) décrivant le mouvement du satellite dans son plan orbital, F est l'angle polaire. L'équation de l'orbite est

L'angle φ augmente également de 360 ​​o à chaque orbite complète, mais pas du tout uniformément. Selon la loi des aires de Kepler, il croît rapidement près du périgée (point le plus proche de la Terre) mais lentement près de l'apogée (point le plus éloigné).

Les informations nécessaires pour dériver φ à tout moment t est contenue dans la loi des aires, mais le calcul réel n'est pas facile. Le processus implique un angle auxiliaire, le anomalie excentrique E qui aiment φ et M croît de 360 ​​o sur chaque orbite. Au périgée, les trois anomalies sont égales zéro.

Le dessin de droite donne une construction géométrique de ces angles (non, n'essayez pas de déchiffrer les détails). L'ellipse orbitale est enfermée dans un cercle de rayon une, et donné une position P du satellite, un point correspondant Q sur le cercle peut être tracé, partageant la même ligne perpendiculaire à l'axe de l'ellipse. Puis E est l'angle entre le grand axe de l'ellipse et la ligne tracée du centre du cercle à Q ("excentrique" pourrait signifier ici "du centre").

L'équation de Kepler

On suppose la période T est connu (cela nécessite la 3e loi et est discuté pour les orbites circulaires dans les sections 20 et 20a). On peut alors montrer que l'angle E satisfait "L'équation de Kepler"

où π = 3,14159256. est le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre. Comment est-ce que cette nombre surgissent soudainement, vous pouvez demander? Le fait est que la division du cercle en 360 degrés peut être pratique à utiliser (nous l'avons héritée des anciens Babyloniens) mais le nombre 360 ​​n'a pas de place particulière en mathématiques. Il est probablement lié au nombre de jours dans une année. Le "Naturel" la division des angles qui survient dans le calcul et d'autres branches des mathématiques est en radians, avec 360 degrés égal à 2π = 6,2831. radians (ce qui rend chaque radian égal à environ 57,3 degrés). Avec des angles mesurés en radians, l'équation de Kepler se simplifie en

Quelle que soit la forme utilisée, les mathématiques ne connaissent pas de formule qui donne E en terme de M. Cependant, les solutions peuvent souvent être approchées à n'importe quel degré de précision par itération -- en commençant par une solution approximative, puis en l'améliorant encore et encore par une procédure appropriée (" algorithme " -- plus sur ce mot ici). Si l'excentricité e n'est pas trop grande - l'ellipse n'est pas très différente d'un cercle - alors M et E ne sont pas trop différents. Donc une première supposition

peut-être pas trop loin. Mettre cette supposition dans le terme sinus donne une meilleure estimation E"

On peut maintenant insérer E" dans le sinus terme et obtenir une estimation encore plus précise, et ainsi de suite. jusqu'aux dix premiers (disons) dix chiffres décimaux de la valeur de E ne change plus, auquel cas nous pouvons décider que nous avons E à une précision suffisante et arrêter le processus. L'ordinateur gère très rapidement un tel processus d'amélioration continue ("itération de la solution" - une forme d'algorithme) très rapidement, et d'autres méthodes existent également, avec une vitesse suffisante même lorsque e est ne pas très petit.

Étant donné E, un certain nombre de formules donneront la véritable anomalie φ. Par exemple, on peut d'abord dériver

Et alors car φ peut être trouvé à partir de

et le péché φ découle de car φ. Tout cela se calcule facilement et automatiquement de nos jours, mais devait être une vraie galère avant les ordinateurs.

L'orbite dans l'espace

  1. Inclinaison i.
  2. L'argument du périgée ω (petit oméga grec).
  3. La longitude du nœud ascendant Ω (oméga majuscule).

Orienter l'orbite en 3 dimensions nécessite un plan de référence et une direction de référence. Pour les orbites des satellites, le plan de référence--le plan horizontal sur le dessin--est généralement le plan équatorial de la Terre (parfois c'est le plan de l'écliptique). le sens de référence dans les deux cas est la direction du centre de la Terre à l'équinoxe de printemps (qui appartient aux deux plans ci-dessus). Nous l'appellerons le direction x, puisque c'est son rôle dans les coordonnées ( x,y,z ) utilisées dans les calculs orbitaux.

Deux plans non parallèles se coupent toujours le long d'une ligne - la façon dont le plan d'une porte coupe le plan du mur le long de la charnière de la porte. Le plan orbital et le plan équatorial (utilisé pour référence) le font aussi, et leur intersection est appelée la ligne de nœuds N. Soit l'origine O de nos coordonnées le centre de la Terre, qui est aussi le foyer de l'ellipse, ce point appartient à la fois au plan équatorial et au plan orbital, et se trouve donc également sur leur ligne d'intersection N (dessin). Puis.

    L'inclinaison i est l'angle d'ouverture de la « charnière » le long N. Il est mieux défini en érigeant à O lignes perpendiculaires à chaque plan et mesurant l'angle entre elles (dessin).


Comment décrire une orbite

  • Une ellipse ressemble à un ovale ou à un cercle écrasé.
  • La ligne la plus longue tracée d'une extrémité de l'ellipse (à travers le centre) à l'autre côté est appelée la grand axe (2a).
  • Chaque ellipse a deux foyers (F et F'), et les distances entre chaque foyer et le centre de l'ellipse sont égales (c). En cercle, les deux foyers se superposent.
  • Le point du demi-grand axe le plus proche de la Terre s'appelle le périgée, tandis que le point de cet axe le plus éloigné de la Terre est appelé le apogée.

17.4 : Détermination des éléments de l'orbite vraie

  • Contribution de Jeremy Tatum
  • Professeur émérite (physique et astronomie) à l'Université de Victoria

Je suppose à ce stade que nous avons utilisé toutes les observations plus la deuxième loi de Kepler et que nous avons bien déterminé l'orbite apparente et que nous pouvons l'écrire sous la forme

[ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0. label <17.4.1> ag<17.4.1>]

[Les coefficients (a) et (b) ici, et (e) dans l'équation 17.4.3, ne signifient bien sûr pas le demi grand axe (a), le demi petit axe (b) et excentricité (e) de la vraie ellipse. On pense que le lecteur sera probablement confus par cela, mais j'ai néanmoins utilisé des polices légèrement différentes pour eux.]

L'origine des coordonnées ici est l'étoile primaire, qui, bien qu'elle soit au foyer de la vraie ellipse, n'est pas au foyer de l'ellipse apparente. L'axe (x) pointe vers l'ouest (vers la droite) et l'axe (y) pointe vers le nord (vers le haut), et l'angle de position (&theta) (mesuré dans le sens inverse des aiguilles d'une montre à partir du nord) est donné par ( tan &theta = &moinsx/y). Notre tâche est maintenant de trouver les éléments de la véritable orbite.

Si la ligne passe par ( ext), de sorte que (d = 0), ces équations se réduisent à


( exte

)

Maintenant, dans la figure ( ext), nous allons regarder la même chose que vue projetée sur le plan du ciel.


( exte

)

le vraie ellipse est devenu le ellipse apparente, et le cercle auxiliaire est devenu le ellipse auxiliaire. Au début de l'analyse, on ne connaît que l'ellipse apparente, qui est donnée par l'équation 17.4.1, et la position du foyer ( ext), qui est à l'origine des coordonnées, (0 , 0). ( exte) n'est pas au foyer de l'ellipse apparente, mais ( ext) est au centre de l'ellipse apparente.

A partir de la section 2.7, nous pouvons trouver les coordonnées ((ar , ar)) du centre ( exte). Ce sont ((ar / ar , ar / ar)), où la barre désigne le cofacteur dans le déterminant des coefficients. Ainsi la pente de la droite ( ext), qui est une portion du vrai grand axe, est (ar / ar). Nous pouvons maintenant écrire l'équation du vrai grand axe sous la forme (y = mx) donc, en utilisant les équations 17.4.4 et 5, nous pouvons déterminer les coordonnées du périastron P et de l'apastron A. Nous pouvons maintenant trouver le distances ( exte) et ( exte) et le rapport ( exte), qui n'a pas changé en projection, est l'excentricité (e) de la vraie ellipse.

Ainsi e a été déterminé.

Notre prochaine étape sera de trouver la pente du latus rectum projeté ( ext) et le demi-petit axe projeté ( ext), qui est, bien sûr, parallèle au latus rectum. Si l'équation du latus rectum projeté est (y = mx), nous pouvons trouver les coordonnées (x) de ( ext) et ( exte) en utilisant l'équation 17.4.4. Mais si ( exte) est un latus rectum, il est bien entendu coupé en deux par le grand axe et donc la longueur ( ext) et ( exte) sont égaux. C'est-à-dire que les deux solutions de l'équation 17.4.4 sont égales en grandeur et opposées en signe, ce qui implique à son tour que le coefficient de (x) est nul. Ainsi la pente du latus rectum (et du petit axe) est (&minusg/f).

(On remarque au passage que les axes majeurs et mineurs projetés sont diamètres conjugués de l'ellipse apparente, avec des pentes (ar / ar) et (&moins g / f) respectivement.)

Maintenant que nous avons déterminé la pente du latus rectum projeté, nous pouvons facilement calculer les coordonnées de ( ext) et ( exte) par solution des équations 17.4.4 et 17.4.5. De plus, ( ext) a la même pente et passe par ( ext), dont nous connaissons les coordonnées, il est donc facile d'écrire l'équation sur le petit axe projeté sous la forme (y = mx + d) ((d) est (ar &moins mar) ), puis résolvez les équations 17.4.2 et 17.4.3 pour trouver les coordonnées de ( ext).

Maintenant, nous voulons étendre ( ext) écrire un SMS^prime , exte^prime ext < et > ext^premier). Pour ( exte^prime ext < et > ext^prime) cela se fait et simplement en remplaçant (x) et (y) par (kx) et (ky), où (k) est le facteur (1/ sqrt<1 - e^2>). Pour ( exte^prime), cela se fait en remplaçant (x) et (y) par (ar + k(x &moins ar)) et (ar + k( y &moins ar)) respectivement.

Les pentes du grand et du petit axe de l'ellipse auxiliaire (écrit sous la forme de l'équation 17.4.1) sont donnés par

Cette équation a deux solutions pour (&theta), différant par (90^circ), les tangentes de celles-ci étant les pentes des axes majeur et mineur de l'ellipse auxiliaire. Maintenant que nous connaissons ces pentes, nous pouvons écrire l'équation à ces axes sous la forme (y = mx + d) ((d) est (ar &moins m ar)) et ainsi nous pouvons déterminer où les axes coupent l'ellipse auxiliaire et donc nous pouvons déterminer les longueurs des deux axes de l'ellipse auxiliaire.

Cela a été un travail difficile jusqu'à présent, mais nous sommes sur le point de faire de réels progrès. Le grand axe de l'ellipse auxiliaire est le seul diamètre du cercle auxiliaire qui n'a pas été raccourci par projection, et par conséquent il est égal au diamètre du cercle auxiliaire, et donc le grand axe de l'ellipse auxiliaire est également égal au grand axe de la vraie ellipse.

Ainsi a a été déterminé.

Le rapport des longueurs du petit et du grand axe de l'ellipse auxiliaire est égal à la quantité d'aplatissement du cercle auxiliaire par projection. C'est-à-dire que le rapport des longueurs des axes est égal à (| cos i |). Puisque les longueurs des axes sont essentiellement positives, nous obtenons seulement (| cos i|), pas (cos i) lui-même. Cependant, par notre définition de (i), il est compris entre (0^circ) et (180^circ) et est inférieur ou supérieur à (90^circ) selon que l'angle de position du composant secondaire augmente ou diminue avec le temps. Par exemple, si (| cos i | = frac<1> <2>,) (i) vaut (60^circ) ou (120^circ), à distinguer par le sens de mouvement du composant secondaire.

le ligne de nœuds passe par ( exte) et est parallèle au grand axe de l'ellipse auxiliaire. C'est en effet la raison pour laquelle le grand axe de l'ellipse auxiliaire était inchangé par rapport à son diamètre d'origine du cercle auxiliaire. On connaît donc déjà la pente de la ligne de nœuds et donc l'angle de position du premier nœud.

Dans la figure ( exte) J'ai ajouté la ligne de nœuds, parallèle au grand axe (non dessiné) de l'ellipse auxiliaire. J'ai utilisé les symboles (N) et (N^prime) pour les premier et deuxième nœuds, mais nous ne savons pas (et ne pouvons pas savoir sans plus d'informations) lequel d'entre eux est ascendant et lequel est descendant.


( exte

)


Considérez à nouveau le cercle excentrique que nous avons tracé autour de la véritable orbite. Lorsque le cercle est incliné de l'angle d'inclinaison (mathbf), il devient écrasé dans une ellipse. La quantité maximale d'écrasement se produit perpendiculairement à l'axe de rotation, où le rayon d'origine (mathbf) rétrécit d'un facteur (cos(i)) et se transforme en l'axe semi-mineur ((eta)) de l'ellipse auxiliaire. La quantité minimale d'écrasement, comme mentionné ci-dessus, se produit le long de l'axe de rotation : le rayon d'origine (mathbf) est inchangé et exactement le même que le demi-grand axe ((alpha)) de l'ellipse auxiliaire.

Ah ! On peut calculer l'angle d'inclinaison je à partir du rapport des demi-grands et demi-petits axes de l'ellipse auxiliaire.


Comment peut-on déterminer l'angle entre la ligne des nœuds et le grand axe de l'orbite de Mars ? - Astronomie

La forme de l'orbite est maintenant fixée par son demi-grand axe et son excentricité. Enfin, il faut connaître soit l'heure, soit l'anomalie moyenne ou vraie pour établir la position du satellite. Ces éléments orbitaux sont illustrés à la figure 3, ci-dessous 1 .

Pour mesurer le temps, nous avons besoin d'un temps de référence, c'est ce qu'on appelle l'époque. Le système de coordonnées cartésiennes d'origine dépend également de ce temps de référence, car la direction des axes et dépend du temps. Il existe deux référentiels communs. Le plus souvent, nous utilisons le cadre de référence M50, dans lequel l'époque commence au début de 1950. Le cadre de référence J2K est également utilisé, où l'époque est donnée au début de l'an 2000.

Les données de nombreux satellites sont disponibles dans ce que l'on appelle des ensembles d'éléments linéaires à

Par exemple, l'un des satellites GPS (GPS BII-05 (PRN 17)) est donné comme

Nous expliquons maintenant ces données en détail. Commençons par le sens de la première ligne :

Colonne La description
01 Numéro de ligne
03-07 Numéro de satellite
08 Classification
10-11 Année de lancement
12-14 Numéro de lancement
15-17 Pièce de lancement
19-20 Année d'époque
21-32 Jour d'époque et fraction de jour
34-43 Dérivée première du mouvement moyen
45-52 Dérivée seconde du mouvement moyen
54-61 terme de traînée
63 Type d'éphéméride
65-68 Numéro d'élément
69 Somme de contrôle

Nous voyons que notre satellite a été lancé dans le lancement numéro 97 de 1989 en tant que pièce A de ce lancement. L'heure de ces données est 01154.90156813 c'est-à-dire le 154e jour de 2001 (c'est-à-dire le 3 juin), 21h 38min 15.486432 sec.

Les données suivantes sont peu pertinentes pour nous. Il s'agit de l'élément # 746. La somme de contrôle est la somme de tous les nombres modulo 10 et est utilisée comme donnée de contrôle, que les données aient été transmises correctement ou non.

Les données les plus importantes se trouvent dans la deuxième ligne :

Colonne La description
01 Numéro de ligne
03-07 Numéro de satellite
09-16 Inclinaison en degrés
18-25 Ascension droite du nœud ascendant
27-33 Excentricité
35-42 Argument du périgée
44-51 Anomalie moyenne (ou )
53-63 Mouvement moyen (tours par jour)
64-68 Numéro de révolution à l'époque
69 Somme de contrôle

Ainsi dans notre exemple, nous avons :

L'orbite est à une inclinaison de 56,2556 degrés, . L'excentricité de l'orbite est de 0,0127851. L'argument du périgée est . L'anomalie moyenne. Le satellite effectue 2 00562298 tours (orbites) par jour et en était à son 7466e tour à l'heure indiquée.

Nous observons que cela n'est pas donné dans cet ensemble de données. Cependant, à partir du mouvement moyen et de la troisième loi de Kepler, nous pouvons calculer . Clairement des jours. La troisième loi de Kepler est


Satellites en orbite

3.2.1.2 Ascension droite du nœud ascendant (Ω)

Pour une même inclinaison, il peut y avoir différentes orientations azimutales de l'orbite. Cela est également évident du fait que la normale sur le plan orbital au foyer peut faire le même angle avec l'axe z (c'est-à-dire avoir la même inclinaison) pour de nombreuses orientations relatives différentes avec le plan équatorial. Ainsi, la véritable orientation du plan est spécifiée par le paramètre ascension droite du nœud ascendant (RAAN).

L'intersection de l'orbite et du plan équatorial est une ligne droite passant par le centre de la Terre (c'est-à-dire l'origine du système de coordonnées ECI considéré). Cette ligne reste simultanément sur le plan orbital et équatorial et coupe l'orbite vraie en deux points : l'un où le satellite se déplace de l'hémisphère sud à l'hémisphère nord, et l'autre où il se déplace du nord au sud. Le premier point est appelé nœud ascendant et le second est appelé nœud descendant. Le RAAN est l'angle sous-tendu au centre de la terre entre la direction du nœud ascendant et l'axe x positif de la coordonnée ECI, mesuré positivement. En définissant autrement, RAAN est la longitude ECI du nœud ascendant des satellites. Cela fixe l'orientation azimutale de l'orbite.

Ces deux paramètres fixent le plan orbital par rapport au plan équatorial. Cependant, l'orientation de l'orbite réelle sur ce plan n'a pas encore été fixée. Cela se fait en définissant l'argument paramètre de périgée.


(12b) Comment le mouvement orbital est calculé

    Cette section examine certains points plus fins du mouvement planétaire et est principalement destinée aux utilisateurs avancés, qui peuvent se demander comment le mouvement orbital est réellement dérivé. Pour d'autres, cela donne un aperçu de la complexité des calculs orbitaux et n'est pas requis ailleurs dans "Stargazers".

Comme indiqué précédemment, le mouvement d'un satellite (ou d'une planète)
dans son orbite elliptique est donnée par 3 "éléments orbitaux":

(1) Le demi-grand axe une, la moitié de la plus grande largeur de l'ellipse orbitale, ce qui donne le Taille de l'orbite.

(2) Le excentricité e, un nombre de 0 à 1, donnant le façonner de l'orbite. Pour un cercle e = 0, des valeurs plus élevées donnent des cercles progressivement plus aplatis, jusqu'à e = 1 où l'ellipse s'étend à l'infini et devient une parabole. Les orbites de toutes les grandes planètes sont assez proches des cercles : celle de la Terre, par exemple, a e=0.0167

(3) Le signifie anomalie M, un angle croissant à un rythme constant, augmentant de 360 ​​degrés à chaque orbite

M = M(0) + 360°(t / T)

M(0) est la valeur de M au moment t=0 et T est la période orbitale. Compte tenu de ces chiffres, M est facilement calculé pour tout moment t.

Cependant, la position réelle du satellite est donnée par le vraie anomalie φ. En coordonnées polaires (r,f) décrivant le mouvement du satellite dans son plan orbital, F est l'angle polaire. L'équation de l'orbite est

L'angle φ augmente également de 360 ​​o à chaque orbite complète, mais pas du tout uniformément. Selon la loi des aires de Kepler, il croît rapidement près du périgée (point le plus proche de la Terre) mais lentement près de l'apogée (point le plus éloigné).

Les informations nécessaires pour dériver φ à tout moment t est contenue dans la loi des aires, mais le calcul réel n'est pas facile. Le processus implique un angle auxiliaire, le anomalie excentrique E qui aiment φ et M croît de 360 ​​o sur chaque orbite. Au périgée, les trois anomalies sont égales zéro.

Le dessin de droite donne une construction géométrique de ces angles (non, n'essayez pas de déchiffrer les détails). L'ellipse orbitale est enfermée dans un cercle de rayon une, et donné une position P du satellite, un point correspondant Q sur le cercle peut être tracé, partageant la même ligne perpendiculaire à l'axe de l'ellipse. Puis E est l'angle entre le grand axe de l'ellipse et la ligne tracée du centre du cercle à Q ("excentrique" pourrait signifier ici "du centre").

L'équation de Kepler

On suppose la période T est connu (cela nécessite la 3e loi et est discuté pour les orbites circulaires dans les sections 20 et 20a). On peut alors montrer que l'angle E satisfait "L'équation de Kepler"

où π = 3,14159256. est le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre. Comment est-ce que cette nombre surgissent soudainement, vous pouvez demander? Le fait est que la division du cercle en 360 degrés peut être pratique à utiliser (nous l'avons héritée des anciens Babyloniens) mais le nombre 360 ​​n'a pas de place particulière en mathématiques. Il est probablement lié au nombre de jours dans une année. Le "Naturel" la division des angles qui survient dans le calcul et d'autres branches des mathématiques est en radians, avec 360 degrés égal à 2π = 6,2831. radians (ce qui rend chaque radian égal à environ 57,3 degrés). Avec des angles mesurés en radians, l'équation de Kepler se simplifie en

Quelle que soit la forme utilisée, les mathématiques ne connaissent pas de formule qui donne E en terme de M. Cependant, les solutions peuvent souvent être approchées à n'importe quel degré de précision par itération -- en commençant par une solution approximative, puis en l'améliorant encore et encore par une procédure appropriée (" algorithme " -- plus sur ce mot ici). Si l'excentricité e n'est pas trop grande - l'ellipse n'est pas très différente d'un cercle - alors M et E ne sont pas trop différents. Donc une première supposition

peut-être pas trop loin. Mettre cette supposition dans le terme sinus donne une meilleure estimation E"

On peut maintenant insérer E" dans le sinus terme et obtenir une estimation encore plus précise, et ainsi de suite. jusqu'aux (disons) dix premiers chiffres décimaux de la valeur de E ne change plus, auquel cas nous pouvons décider que nous avons E à une précision suffisante et arrêter le processus. L'ordinateur gère très rapidement un tel processus d'amélioration continue ("itération de la solution" - une forme d'algorithme) très rapidement, et d'autres méthodes existent également, avec une vitesse suffisante même lorsque e est ne pas très petit.

Étant donné E, un certain nombre de formules donneront la véritable anomalie φ. Par exemple, on peut d'abord dériver

Et alors car φ peut être trouvé à partir de

et le péché φ découle de car φ. Tout cela se calcule facilement et automatiquement de nos jours, mais devait être une vraie galère avant les ordinateurs.

L'orbite dans l'espace

  1. Inclinaison i.
  2. L'argument du périgée ω (petit oméga grec).
  3. La longitude du nœud ascendant Ω (oméga majuscule).

Orienter l'orbite en 3 dimensions nécessite un plan de référence et une direction de référence. Pour les orbites des satellites, le plan de référence--le plan horizontal sur le dessin--est généralement le plan équatorial de la Terre (parfois c'est le plan de l'écliptique). le sens de référence dans les deux cas est la direction du centre de la Terre à l'équinoxe de printemps (qui appartient aux deux plans ci-dessus). Nous l'appellerons le direction x, puisque c'est son rôle dans les coordonnées ( x,y,z ) utilisées dans les calculs orbitaux.

Deux plans non parallèles se coupent toujours le long d'une ligne - la façon dont le plan d'une porte coupe le plan du mur le long de la charnière de la porte. Le plan orbital et le plan équatorial (utilisé pour référence) le font aussi, et leur intersection est appelée la ligne de nœuds N. Soit l'origine O de nos coordonnées le centre de la Terre, qui est aussi le foyer de l'ellipse, ce point appartient à la fois au plan équatorial et au plan orbital, et se trouve donc également sur leur ligne d'intersection N (dessin). Puis.

    L'inclinaison i est l'angle d'ouverture de la « charnière » le long N. Il est mieux défini en érigeant à O lignes perpendiculaires à chaque plan et mesurant l'angle entre elles (dessin).


Groupes de métaux de transition 9-12

6.6.3.6.2 Autres systèmes pontés

Lippard et ses collègues synthétisés 482 un ligand hexaimidazole pour encapsuler deux ions cuivre dans un environnement biomimétique, et a rapporté un complexe dicupper(II) très intéressant ( 585 ) (2d l'angle dièdre plan carré déformé entre les meilleurs plans des moindres carrés à travers les deux sphères de coordination en cuivre est de 62,5°). La caractéristique la plus intéressante de cette structure est qu'une molécule de solvant de méthanol, utilisée pour faire croître des cristaux, est insérée dans la cavité définie par le lieur bis(imidazolyl)benzène. Des mesures à l'état solide, dépendantes de la température (6-300 K) ont révélé la présence d'un faible couplage ferromagnétique (2J = + 2,6(2) cm -1 ) dans ce composé. Les propriétés spectrales de la RPE ont également été étudiées. Comba et ses collègues ont signalé 483 modèles structuraux de la catéchol oxydase liée au substrat 91 (complexes ( 586 )–( 589 )). Le composé avec un catécholate de pontage s'est avéré être catalytiquement le plus actif.

Du point de vue du magnétisme moléculaire, 484,485 Julve et al. signalé 486 complexe ( 590 ) (Cu–Cu octaédrique tétragonal allongé : 3,435 Å 2J = -374 cm -1 ). Escuer et al. a démontré la polyvalence du ligand cyanato en faisant des études magnétostructurales sur des complexes dimères : [(Et5dien)Cu(NCO)][ClO4] (591) (carré plan), ( 592 ) (SP Cu–Cu allongé axialement : 5,397 Å 2J = 0,5 cm −1 ), et ( 593 ) (τ = 0,27 Cu–Cu : 3,216 2J = −4,6 cm −1 ). 487 Poursuivant son activité, ce groupe a également étudié des complexes ( 594 ) (SP Cu–Cu allongé axialement : 6,89 Å 2J = −7,5 cm −1 ), ( 595 ) (SP déformé Cu–Cu : 7,569 2J = −28 cm −1 ) et ( 596 ) (SP Cu–Cu allongé axialement : 5,289 2J = −3,6 cm −1 ). 488 Spiccia et ses collaborateurs ont étudié un complexe mononucléaire [(tpa)Cu(CN)][ClO4]·0.5H2O ( Figure 2 ) ((597) TBP), ainsi que deux complexes pontés cyanure [( 598 ) (TBP Cu–Cu : 5,084 2J = −106,4 cm −1 ) et ( 599 ) (TBP Cu–Cu : 4,982 2J = −174,2 cm −1 )]. 489 McCleverty, Ward et ses collègues ont signalé les propriétés spectroscopiques structurelles, magnétiques et EPR de complexes de cuivre (II) en forme de grille tétranucléaires avec des ponts pyrazolate : 490 ( 600 ) (SP Cu–Cu : 3,963 et 4,080 Å), (601) (MeOH est coordonné comme le DMF dans le complexe ( 600 ) : SP, Cu–Cu : 3,939 et 3,984 ) et ( 602 ) (SP Cu-Cu : 3,216 ). 491 Tokii et ses collaborateurs ont étudié des études magnétostructurales sur des complexes dicupper(II) pontés bis-(μ-pyrazolato) : ( 603 )–( 606 ) (TBP déformé) ( 607 ) (bipyramidale carrée déformée). Ils caractérisent structurellement un complexe [(bpy)2Cu2(4-Mepz)2(H2O)2][NON3]2 ainsi, ayant une structure très similaire à celle de ( 607 ). Les données de susceptibilité magnétique sont conformes à 2J valeurs comprises entre -143 et -268 cm -1 . 492 Chou et al. ont rapporté trois complexes pontés pyrazolato ( 608 )–( 610 ). Dans ces complexes avec des ponts supplémentaires, des études redox et magnétiques ont également été réalisées. 493 Pons et al. exemple fourni (complexe ( 611 )) 494 d'une chloration inattendue d'un ligand pyrazole lors de la cristallisation d'un précurseur mononucléaire. McKenzie et ses collègues ont signalé 495 une p-complexe à pontage phénylènediamine ( 612 ) (SP couplage antiferromagnétique faible). Spodine et al. signalé 496 un complexe ponté monohydroxo ( 613 ) (SP Cu–Cu : 3,663 Å 2J = -360 cm -1 ). Reedijk et ses collaborateurs ont signalé deux complexes intéressants à ponts dihydroxo ( 614 ) (distorsion tétragonale Cu–O–Cu : 99,3 ° Cu–Cu : 2,9414 2J = −68,1 cm −1 ) 497 et ( 615 ) (Cu-O-Cu octaédrique déformé : 94,5 ° Cu-Cu : 2,8383 Å 2J = 148 cm -1 ). 498

Thompson et ses collègues ont systématiquement étudié 499,500 corrélations magnétostructurales avec de nombreux complexes à ponts azido intéressants, avec un pont diazine équatorial endogène présentant à la fois un couplage ferromagnétique et antiferromagnétique entre les centres Cu II. Quelques exemples représentatifs sont des complexes ( 616 )–(( 624 ). Les sites axiaux des deux cuivres impliquent un ensemble désordonné d'eaux partielles et d'ions chlorure partiels (complexe (( 624a )). A partir de ces études, ils ont démontré que le2Le pont -1,1-azido peut propager un couplage antiferromagnétique si l'angle du pont est suffisamment grand et que l'angle critique d'orthogonalité accidentelle (couplage ferromagnétique) pour le pont azido est ≈108,5 °.

Du point de vue des matériaux magnétiques à base moléculaire, 484,485 Ray Chaudhuri et ses collègues ont signalé le complexe à pont azide de bout en bout (( 625 ). 501 Manoharan et ses collaborateurs ont systématiquement étudié les aspects structuraux moléculaires et électroniques des complexes à pont azido ( 626 ) (SP déformé Cu–Cu : 5,632 Å), ( 627 ) (contrairement à ( 626 ), dans ce complexe chaque cuivre a une faible coordination perchlorate O Cu–Cu : 5,410 Å) et ([(dpt)Cu(μ−N3)]2[ClO4]2 (628) (type structurel : ( 593 )) dpt = dipropylènetriamine ( Figure 2 ) Cu–Cu : 3,416 Å). 502 Akagi et al. ont signalé un complexe trinucléaire linéaire de cuivre (II) ( 629 ), pontés par des groupes oximato et azido (octaédrique allongé Cu(central)–Cu(terminal) : 3.4008 Å 2J = -532 cm -1 ). 503

Christou, Hendrickson et leurs collègues ont signalé des complexes dicupper(II) couplés ferromagnétiquement à triple pont ( 630 ) et ( 631 ). 504–506 Perlepes et al. ont signalé des complexes à pont alkoxo/carboxylato ( 632 ) et ( 633 ). 506 À l'aide de complexes dicopper(II) pontés hydroxo-/carboxylato, Chakravarty et ses collaborateurs ont étudié les complexes de corrélations magnétostructurales (634) et ( 635 ) représentent des exemples prototypes. 507 Tokii et al. ont étudié des complexes étroitement similaires, ( 636 ) et ( 637 ). 508 En utilisant une réaction en pot unique, Walton et ses collègues ont signalé un complexe ( 638 ) (SP Cu–Cu : 3,491 Å 2J = −152,1 cm −1 ) d'un m-ligand de base de Schiff à base de xylyle. 509


Voir la vidéo: CALCUL DE LANGLE ENTRE DEUX VECTEURS (Février 2023).