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Astronomie

Conversion des coordonnées équatoriales en coordonnées cartésiennes pour les distances extragalactiques

Conversion des coordonnées équatoriales en coordonnées cartésiennes pour les distances extragalactiques


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J'essaie de rechercher des amas de galaxies avec l'algorithme des amis des amis (FoF). J'ai les coordonnées équatoriales ($alpha, delta$) et des redshifts ($0.5<>) des galaxies que je souhaite convertir en coordonnées cartésiennes, avec les éléments suivants :

$$ X = Rcdot cos(delta)cos(alpha) Y = Rcdot cos(delta)sin(alpha) Z = Rcdot sin(delta ) $$

Le problème que j'ai est de décider de la bonne $R$ à utiliser : doit-il s'agir d'une distance de déplacement, d'une distance de diamètre angulaire ou d'une distance de luminosité, étant donné que je n'ai que des redshifts pour travailler ? Comment déterminer la meilleure mesure de distance LOS à utiliser dans ce cas ? Y a-t-il une meilleure manière de faire cela?

Par exemple, en astropie, leur quantité Distance par défaut calcule la distance à partir du décalage vers le rouge (et d'une cosmologie donnée) en utilisant la distance de luminosité.

Les références

  • Quelques notes sur l'algorithme Friends-of-Friends

Je trouve que cette discussion sur les distances cosmologiques par David Hogg est très utile pour répondre à des questions comme celle-ci. Dans la section 4, il dit :

La distance de déplacement en ligne de visée entre deux événements proches (c'est-à-dire proches en décalage vers le rouge ou distance) est la distance que nous mesurerions localement entre les événements aujourd'hui si ces deux points étaient verrouillés dans le flux de Hubble. C'est la mesure de distance correcte pour mesurer les aspects d'une structure à grande échelle imprimée sur le flux de Hubble, par exemple, les distances entre les « murs ».

Cela me suggérerait que c'est la mesure de distance que vous voulez pour votre problème, mais je vous encourage à lire plus loin dans cet article pour être sûr.


Système de coordonnées géographiques

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre

UNE système de coordonnées géographiques (CGV) est un système de coordonnées associé à des positions sur Terre (position géographique). Un GCS peut donner des positions :

  • comme système de coordonnées sphériques utilisant la latitude, la longitude et l'altitude Ώ]
  • en tant que coordonnées cartographiques projetées sur l'avion, y compris éventuellement l'élévation Ώ]
  • en coordonnées cartésiennes centrées sur la terre et fixes (ECEF) dans l'espace 3
  • comme un ensemble de chiffres, de lettres ou de symboles formant un géocode.

Dans les coordonnées géodésiques et les coordonnées cartographiques, le tuple de coordonnées est décomposé de telle sorte qu'un des nombres représente une position verticale et deux des nombres représentent une position horizontale. ΐ]


Contenu

Longitude galactique[modifier]

Longitude (symbole je ) mesure la distance angulaire d'un objet vers l'est le long de l'équateur galactique à partir du centre galactique. Analogue à la longitude terrestre, la longitude galactique est généralement mesurée en degrés (°).

Latitude galactique [ modifier ]

Latitude (symbole b ) mesure l'angle d'un objet au nord de l'équateur galactique (ou plan médian) vu de la Terre. Analogue à la latitude terrestre, la latitude galactique est généralement mesurée en degrés (°).


Système géodésique[modifier]

Afin d'être sans ambiguïté sur la direction de la surface "verticale" et "horizontale" au-dessus de laquelle ils mesurent, les cartographes choisissent un ellipsoïde de référence avec une origine et une orientation données qui correspondent le mieux à leurs besoins pour la zone qu'ils cartographient. Ils choisissent ensuite la cartographie la plus appropriée du système de coordonnées sphériques sur cet ellipsoïde, appelé système de référence terrestre ou système géodésique.

Les données peuvent être globales, ce qui signifie qu'elles représentent la Terre entière, ou elles peuvent être locales, ce qui signifie qu'elles représentent un ellipsoïde qui correspond le mieux à une partie seulement de la Terre. Les points à la surface de la Terre se déplacent les uns par rapport aux autres en raison du mouvement des plaques continentales, de l'affaissement et du mouvement diurne des marées terrestres causés par la Lune et le Soleil. Ce mouvement quotidien peut atteindre un mètre. Les déplacements continentaux peuvent atteindre 10 cm par an, ou 10 m par siècle. Une zone anticyclonique du système météorologique peut provoquer un enfoncement de 5 mm . La Scandinavie s'élève de 1 cm par an en raison de la fonte des calottes glaciaires de la dernière période glaciaire, mais l'Écosse voisine ne s'élève que de 0,2 cm . Ces changements sont insignifiants si une donnée locale est utilisée, mais sont statistiquement significatifs si une donnée globale est utilisée. Ώ]

Le système géodésique mondial (WGS 84), le système de référence par défaut utilisé pour le système de positionnement global, [n 3] et ​​le cadre international de référence terrestre (ITRF), utilisé pour estimer la dérive des continents et la déformation de la croûte, sont des exemples de systèmes géodésiques mondiaux. Δ] La distance au centre de la Terre peut être utilisée à la fois pour des positions très profondes et pour des positions dans l'espace. Ώ]

Les datums locaux choisis par une organisation cartographique nationale comprennent le datum nord-américain, l'ED50 européen et l'OSGB36 britannique. Étant donné un emplacement, la référence fournit la latitude ϕ et la longitude λ . Au Royaume-Uni, trois systèmes communs de latitude, longitude et hauteur sont utilisés. Le WGS 84 diffère à Greenwich de celui utilisé sur les cartes publiées OSGB36 d'environ 112 m. Le système militaire ED50, utilisé par l'OTAN, diffère d'environ 120m à 180m. Ώ]

La latitude et la longitude sur une carte établie par rapport à un système géodésique local peuvent ne pas être les mêmes que celles obtenues à partir d'un récepteur GPS. Les coordonnées du système cartographique peuvent parfois être grossièrement changées en une autre donnée à l'aide d'une simple traduction. Par exemple, pour passer d'ETRF89 (GPS) à la grille irlandaise, ajoutez 49 mètres à l'est et soustrayez 23,4 mètres au nord. Ε] Plus généralement, une donnée est transformée en une autre donnée à l'aide d'un processus appelé transformations de Helmert. Cela implique de convertir les coordonnées sphériques en coordonnées cartésiennes et d'appliquer une transformation à sept paramètres (translation, rotation tridimensionnelle) et de reconvertir. Ώ]

Dans les logiciels SIG courants, les données projetées en latitude/longitude sont souvent représentées sous la forme d'un « système de coordonnées géographiques ». Par exemple, les données en latitude/longitude si le datum est le datum nord-américain de 1983 sont désignées par 'GCS North American 1983'.


Mesure de hauteur à l'aide de points de référence

Complexité du problème

Pour spécifier complètement l'emplacement d'un élément topographique sur, dans ou au-dessus de la Terre, il faut également spécifier la distance verticale du centre de la Terre ou de la surface de la Terre.

La Terre n'est pas une sphère, mais une forme irrégulière se rapprochant d'un ellipsoïde biaxial. Il est presque sphérique, mais a un renflement équatorial rendant le rayon à l'équateur environ 0,3% plus grand que le rayon mesuré à travers les pôles. L'axe le plus court coïncide approximativement avec l'axe de rotation. Bien que les premiers navigateurs considéraient la mer comme une surface plane pouvant être utilisée comme référence verticale, ce n'est pas réellement le cas. La Terre a une série de couches d'énergie potentielle égale dans son champ gravitationnel. La hauteur est une mesure perpendiculaire à cette surface, approximativement vers le centre de la Terre, mais des variations locales rendent les couches équipotentielles irrégulières (bien qu'approximativement ellipsoïdales). Le choix de la couche à utiliser pour définir la hauteur est arbitraire.

Lignes de base communes

Les lignes de base de hauteur courantes incluent [2]

  • La surface de l'ellipsoïde de référence, résultant en un hauteur ellipsoïdale
  • Le niveau moyen de la mer tel que décrit par le géoïde de gravité, donnant la hauteur orthométrique[1][7]
  • Une référence verticale, donnant une hauteur dynamique par rapport à une hauteur de référence connue.

Avec la latitude et la longitude, la hauteur fournit le tridimensionnel coordonnées géodésiques ou alors les coordonnées géographiques pour un emplacement. [8]

Références

Afin d'être sans ambiguïté sur la direction de la "verticale" et la "surface" au-dessus de laquelle ils mesurent, les cartographes choisissent un ellipsoïde de référence avec une origine et une orientation données qui correspondent le mieux à leurs besoins pour la zone qu'ils cartographient. Ils choisissent ensuite le mappage le plus approprié du système de coordonnées sphériques sur cet ellipsoïde, appelé un système de référence terrestre ou référence géodésique.

Les références peuvent être global, ce qui signifie qu'ils représentent la terre entière, ou ils peuvent être local, ce qui signifie qu'ils représentent un ellipsoïde le mieux adapté à seulement une partie de la terre. Les points à la surface de la Terre se déplacent les uns par rapport aux autres en raison du mouvement des plaques continentales, de l'affaissement et du mouvement diurne causés par la Lune et les marées. Le mouvement quotidien peut atteindre un mètre. Les déplacements continentaux peuvent atteindre 10 cm par an, ou 10 m par siècle. Une zone anticyclonique du système météorologique peut provoquer un enfoncement de 5 mm . La Scandinavie s'élève de 1 cm par an en raison de la fonte des calottes glaciaires de la dernière période glaciaire, mais l'Écosse voisine ne s'élève que de 0,2 cm . Ces changements sont insignifiants si une donnée locale est utilisée, mais sont statistiquement significatifs si une donnée globale est utilisée. [1]

Des exemples de systèmes géodésiques mondiaux incluent le Système géodésique mondial (WGS 84), le système de référence par défaut utilisé pour le Système de positionnement global [n 4] et le Cadre international de référence terrestre (ITRF) utilisé pour estimer la dérive des continents et la déformation de la croûte terrestre. [9] La distance au centre de la Terre peut être utilisée à la fois pour des positions très profondes et pour des positions dans l'espace. [1]

Les datums locaux choisis par une organisation cartographique nationale comprennent le datum nord-américain, l'ED50 européen et l'OSGB36 britannique. Étant donné un emplacement, le système de référence fournit la latitude et la longitude . Au Royaume-Uni, trois systèmes communs de latitude, longitude et hauteur sont utilisés. Le WGS 84 diffère à Greenwich de celui utilisé sur les cartes publiées OSGB36 d'environ 112 m. Le système militaire ED50, utilisé par l'OTAN, diffère d'environ 120m à 180m. [1]

La latitude et la longitude sur une carte établie par rapport à un système géodésique local peuvent ne pas être les mêmes que sur un récepteur GPS. Les coordonnées du système cartographique peuvent parfois être grossièrement changées en une autre donnée à l'aide d'une simple traduction. Par exemple, pour passer d'ETRF89 (GPS) à la grille irlandaise, ajoutez 49 mètres à l'est et soustrayez 23,4 mètres au nord. [10] Plus généralement, une donnée est changée en n'importe quelle autre donnée en utilisant un processus appelé transformations de Helmert. Cela implique de convertir les coordonnées sphériques en coordonnées cartésiennes et d'appliquer une transformation à sept paramètres (translation, rotation tridimensionnelle) et de reconvertir. [1]

Dans les logiciels SIG courants, les données projetées en latitude/longitude sont souvent représentées sous la forme d'un « système de coordonnées géographiques ». Par exemple, les données en latitude/longitude si le datum est le datum nord-américain de 1983 sont désignées par 'GCS North American 1983'.


Conversion des coordonnées équatoriales en coordonnées cartésiennes pour les distances extragalactiques - Astronomie

Le concept d'un coordonner carte, ou coordonner graphique est au cœur de la théorie des variétés. UNE coordonner la carte est essentiellement une coordonner système pour un sous-ensemble d'un espace donné avec la propriété que chaque point a exactement un ensemble de coordonnées. Plus précisément, un coordonner map est un homéomorphisme d'un sous-ensemble ouvert d'un espace X à un sous-ensemble ouvert de R n. Il n'est souvent pas possible de fournir un coordonner système pour un espace entier. Dans ce cas, une collection de coordonner les cartes sont assemblées pour former un atlas couvrant l'espace. Un espace équipé d'un tel atlas est appelé un collecteur et une structure supplémentaire peut être définie sur un collecteur si la structure est cohérente où le coordonner les cartes se chevauchent. Par exemple, une variété différentiable est une variété où le changement de coordonnées d'une coordonner mapper à un autre est toujours une fonction différentiable.

Comme décrit ci-dessus, un temps coordonner peut être illustré dans une mesure limitée par l'heure propre d'une horloge qui est théoriquement infiniment éloignée des objets d'intérêt et au repos par rapport au référentiel choisi. Cette horloge fictive, parce qu'elle est en dehors de tous les puits de gravité, n'est pas influencée par la dilatation du temps gravitationnel. Le temps approprié des objets dans un puits de gravité passera plus lentement que le temps coordonner même lorsqu'ils sont au repos par rapport au coordonner cadre de référence. La dilatation du temps tant gravitationnelle que mouvementée doit être considérée pour chaque objet d'intérêt, et les effets sont des fonctions de la vitesse par rapport au référentiel et du potentiel gravitationnel comme indiqué dans.

Une autre commune coordonner système pour l'avion est la polaire coordonner système. Un point est choisi comme pôle et un rayon de ce point est pris comme axe polaire. Pour un angle θ donné, il existe une seule droite passant par le pôle dont l'angle avec l'axe polaire est (mesuré dans le sens antihoraire de l'axe à la droite). Alors il y a un point unique sur cette ligne dont la distance signée de l'origine est r pour un nombre r donné. Pour une paire donnée de coordonnées (r, θ) il y a un seul point, mais tout point est représenté par plusieurs paires de coordonnées. Par exemple, (r, θ), (r, θ+2π) et (−r, θ+π) sont toutes des coordonnées polaires pour le même point. Le pôle est représenté par (0, θ) pour toute valeur de .

Le tableau suivant répertorie les coordonner systèmes utilisés par la communauté astronomique. Le plan fondamental divise la sphère céleste en deux hémisphères égaux et définit la ligne de base pour les coordonnées latitudinales, semblable à l'équateur dans le coordonner système. Les pôles sont situés à ±90° du plan fondamental. La direction principale est le point de départ des coordonnées longitudinales. L'origine est le point de distance zéro, le "centre de la sphère céleste", bien que la définition de la sphère céleste soit ambiguë quant à la définition de son point central.

Un point du plan peut être représenté en coordonnées homogènes par un triplet (x, y, z) où x/z et y/z sont les coordonnées cartésiennes du point. Cela introduit un "extra" coordonner puisque seulement deux sont nécessaires pour spécifier un point sur le plan, mais ce système est utile en ce qu'il représente n'importe quel point sur le plan projectif sans utiliser l'infini. En général, une homogénéité coordonner système est un système où seuls les rapports des coordonnées sont significatifs et non les valeurs réelles.

UNE coordonner échelle de temps (ou coordonner standard de temps) est un standard de temps conçu pour être utilisé comme coordonner dans les calculs qui doivent tenir compte des effets relativistes. Le choix d'un moment coordonner implique le choix de tout un référentiel.

Il y a quatre buts conçus coordonner échelles de temps définies par l'IAU pour une utilisation en astronomie. Barycentrique Coordonner Le temps (TCB) est basé sur un cadre de référence se déplaçant avec le barycentre du système solaire et a été défini pour être utilisé dans le calcul du mouvement des corps dans le système solaire. Cependant, du point de vue des observateurs terrestres, la dilatation du temps général, y compris la dilatation du temps gravitationnelle, provoque Coordonner Le temps, qui est basé sur la seconde SI, apparaît lorsqu'il est observé depuis la Terre pour avoir des unités de temps qui passent plus rapidement que les secondes SI mesurées par une horloge terrestre, avec un taux de divergence d'environ 0,5 seconde par an. En conséquence, à de nombreuses fins astronomiques pratiques, une modification à l'échelle du TCB a été définie, appelée pour des raisons historiques Barycentric Dynamical Time (TDB), avec une unité de temps qui s'évalue en secondes SI lorsqu'elle est observée depuis la surface de la Terre, assurant ainsi qu'au moins pour plusieurs millénaires TDB restera à moins de 2 millisecondes du Temps Terrestre (TT), bien que l'unité de temps de TDB, si mesurée par l'observateur hypothétique décrit ci-dessus, au repos dans le référentiel et à distance infinie, serait très légèrement plus lente que la SI seconde (par 1 partie en 1/LB = 1 partie en 10 8 /1.550519768).

Géocentrique Coordonner Le temps (TCG) est basé sur un référentiel se déplaçant avec le géocentre (le centre de la Terre), et est défini en principe pour être utilisé pour les calculs concernant les phénomènes sur ou dans la région de la Terre, tels que la rotation planétaire et les mouvements des satellites. Dans une bien moindre mesure qu'avec le TCB par rapport au TDB, mais pour une raison correspondante, la seconde SI du TCG lorsqu'elle est observée depuis la surface de la Terre montre une légère accélération sur les secondes SI réalisées par les horloges terrestres. En conséquence, le temps terrestre (TT) a également été défini comme une version mise à l'échelle du TCG, avec une mise à l'échelle telle que sur le géoïde défini, le taux unitaire est égal à la seconde SI, bien qu'en termes de TCG, la seconde SI de TT soit un très peu plus lentement (cette fois de 1 partie en 1/LG = 1 partie en 10 10 /6.969290134).

L'exemple prototypique d'un coordonner le système est le cartésien coordonner système. Dans le plan, deux lignes perpendiculaires sont choisies et les coordonnées d'un point sont considérées comme les distances signées par rapport aux lignes. En trois dimensions, trois plans orthogonaux entre eux sont choisis et les trois coordonnées d'un point sont les distances signées à chacun des plans. Cela peut être généralisé pour créer n coordonnées pour n'importe quel point dans l'espace euclidien à n dimensions.

Dans l'espace à trois dimensions, si l'on coordonner est maintenue constante et les deux autres peuvent varier, la surface résultante est appelée une coordonner surface. Par exemple, le coordonner surfaces obtenues en maintenant ρ constant dans la sphère coordonner système sont les sphères dont le centre est à l'origine. Dans l'espace tridimensionnel, l'intersection de deux coordonner surfaces est un coordonner courbe. Dans le cartésien coordonner système dont on peut parler coordonner Avions.

Selon la direction et l'ordre du coordonner axes, le système tridimensionnel peut être un système droitier ou un système gaucher. C'est l'un des nombreux coordonner systèmes.

De même, coordonner les hypersurfaces sont les espaces de dimension (n − 1) résultant de la fixation d'un seul coordonner d'une dimension n coordonner système.

En deux dimensions, si l'une des coordonnées en un point coordonner système est maintenu constant et l'autre coordonner peut varier, la courbe résultante est appelée une coordonner courbe. Dans le cartésien coordonner système le coordonner les courbes sont en fait des droites, donc coordonner lignes. Plus précisément, ce sont les lignes parallèles à l'une des coordonner haches. Pour les autres coordonner systèmes, les courbes de coordonnées peuvent être des courbes générales. Par exemple, le coordonner les courbes en coordonnées polaires obtenues en maintenant r constant sont les cercles de centre à l'origine. Systèmes de coordonnées pour l'espace euclidien autre que le cartésien coordonner système sont appelés curvilignes coordonner systèmes. Cette procédure n'a pas toujours de sens, par exemple il n'y a pas de coordonner courbes dans un homogène coordonner système.

Si l'on combine un coordonner condition qui est covariante de Lorentz, telle que l'harmonique coordonner condition mentionnée ci-dessus, avec les équations de champ d'Einstein, alors on obtient une théorie qui est en quelque sorte cohérente avec la relativité restreinte et générale. Parmi les exemples les plus simples de telles coordonner les conditions sont les suivantes : #

Le CCMM coordonner système diffère des coordonnées cartésiennes standard en ce qu'il utilise une table tournante. Pour cette raison, une sphère coordonner système est utilisé pour définir l'axe. Une définition complète peut être trouvée ici: Le cylindrique coordonner Le système permet la construction de jauges de vilebrequin, de jauges d'arbre de transmission et de machines d'inspection pour d'autres applications d'arbre.

Le cylindrique coordonner système est l'un des nombreux coordonner systèmes. Les formules suivantes peuvent être utilisées pour convertir entre elles.

Comme la sphérique coordonner système n'est qu'un des nombreux systèmes tridimensionnels coordonner systèmes, il existe des équations pour convertir les coordonnées entre les coordonner système et autres.

A l'époque médiévale, la stéréographie coordonner système a été utilisé à des fins de navigation. Le stéréographique coordonner système a été remplacé par le système latitude-longitude. Bien qu'elle ne soit plus utilisée en navigation, la stéréographie coordonner système est encore utilisé à l'époque moderne pour décrire les orientations cristallographiques dans les domaines de la cristallographie, de la minéralogie et de la science des matériaux.

UNE coordonner la conversion du système est une conversion d'un coordonner système à un autre, avec les deux coordonner systèmes basés sur le même système géodésique. Les tâches de conversion courantes incluent la conversion entre les coordonnées géodésiques et ECEF et la conversion d'un type de projection cartographique à un autre.

Il existe deux méthodes courantes pour étendre la polaire coordonner système à trois dimensions. Dans le cylindrique coordonner système, une coordonnée z avec la même signification que dans les coordonnées cartésiennes est ajoutée aux coordonnées polaires r et donnant un triple (r, θ, z). Les coordonnées sphériques vont encore plus loin en convertissant la paire de coordonnées cylindriques (r, z) en coordonnées polaires (ρ, ) donnant un triple (ρ, θ, φ).


Contenu


  • 1 Histoire


  • 2 Référence géodésique


  • 3 Coordonnées horizontales

    • 3.1 Latitude et longitude

      • 3.1.1 Durée d'un diplôme


      • 3.2.1 Systèmes UTM et UPS


      • 3.2.2 Système de coordonnées stéréographiques


      • 5.1 Terre-centrée, Terre-fixe


      • 5.2 Plan tangent local


      • 9.1 Citations


      • 9.2 Sources



      • Portail de l'Atlas

    • Degrés décimaux
    • Référence géodésique
    • Conversion de coordonnées géographiques
    • Système d'information géographique
    • Distance géographique
    • Référencement linéaire
    • Projection cartographique
    • Systèmes de référence spatiale

    • TRANSFORMATIONS DE COORDONNÉES GÉOPHYSIQUES

      Publié à l'origine dans Électrodynamique cosmique, 2, 184-196, 1971. Tous droits réservés. Copyright 1971 par D. Reidel, maison d'édition Dordrecht-Hollande. (Reçu le 12 janvier 1971 sous une forme révisée le 26 mars 1971)

      Contenu

      Abstrait .

      Introduction

      De nombreux systèmes de coordonnées différents sont utilisés dans les travaux expérimentaux et théoriques sur les relations Soleil-Terre. Ces systèmes de coordonnées sont utilisés pour afficher les trajectoires des satellites, les emplacements des limites et les mesures de champ vectoriel. Le besoin de plus d'un système de coordonnées provient du fait que souvent divers processus physiques sont mieux compris, les données expérimentales plus ordonnées ou les calculs plus faciles à effectuer dans l'un ou l'autre des divers systèmes. Fréquemment, il est nécessaire de passer de l'un à l'autre de ces systèmes. Il est possible de dériver la transformation d'un système de coordonnées à un autre en termes de relations trigonométriques entre les angles mesurés dans chaque système au moyen des formules de trigonométrie sphérique (Intelligent, 1944), Cependant, l'utilisation de cette technique peut être très délicate et peut entraîner des relations assez complexes. Cependant, cette méthode est parfois utilisée. Un exemple récent de l'utilisation de cette technique pour transformer des coordonnées géographiques en coordonnées géomagnétiques peut être trouvé dans Hydromel (1970).

      Une autre technique consiste à trouver les angles de rotation d'Euler requis et à construire les matrices de rotation associées. Ensuite, ces matrices de rotation peuvent être multipliées pour donner une seule matrice de transformation (Goldstein, 1950). Le formalisme vecteur-matrice est attrayant non seulement parce qu'il permet une représentation abrégée de la transformation, mais aussi parce qu'il permet d'effectuer facilement de multiples transformations par multiplication matricielle et de dériver facilement la transformation inverse.

      Les matrices requises pour les transformations de coordonnées n'ont cependant pas besoin d'être dérivées des angles de rotation d'Euler. Le but de cette note est d'expliquer comment dériver ces transformations de coordonnées sans dériver les angles de rotation d'Euler requis ainsi que de décrire les systèmes de coordonnées les plus couramment utilisés dans le domaine des relations solaires terrestres.

      Des discussions sur les transformations de coordonnées pour certains des systèmes de coordonnées à traiter dans ce rapport peuvent également être trouvées dans des articles de Olson (1970), et par le Branche Champs magnétiques et électriques (1970) du Goddard Space Flight Center. Le premier article diffère du présent travail principalement par la notation et le nombre de systèmes traités. Une autre différence est que l'orbite de la Terre est considérée comme circulaire dans le traitement d'Olson. Ce dernier article décrit les systèmes de coordonnées et présente les matrices de transformation requises mais sans dérivation. Étant donné que le même système de coordonnées peut recevoir un nom différent dans chaque traitement, le tableau I énumère les noms et abréviations utilisés dans ces deux articles et le présent travail pour ces systèmes communs à deux ou plusieurs d'entre eux.

      TABLEAU I

      2. Remarques générales

      En définissant un système de coordonnées, en général, vous choisissez deux quantités : la direction de l'un des axes et l'orientation des deux autres axes dans le plan perpendiculaire à cette direction. Cette dernière orientation est souvent spécifiée en exigeant que l'un des deux axes restants soit perpendiculaire à une direction. Une caractéristique heureuse des matrices de rotation (la matrice qui transforme un vecteur d'un système à un autre) est que l'inverse est simplement sa transposée. Ainsi, si la matrice UNE transforme le vecteur V mesuré dans le système une à V mesuré dans le système b, alors la matrice qui transforme V en V est A. On peut donc écrire

      La façon la plus simple d'obtenir la matrice de transformation UNE est de trouver les directions des trois nouveaux axes de coordonnées pour le système b dans l'ancien système (système une). Si les cosinus directeurs de la nouvelle direction X exprimés dans l'ancien système sont (X , X, X), de la nouvelle direction Y sont (Y, YY) et la nouvelle direction Z sont (Z , Z, Z) , alors la matrice de rotation est formée de ces trois vecteurs en lignes, c'est-à-dire

      (X X X ) (V) = (V)
      (AA Y ) (V) = (V)
      (Z Z Z ) (V ) = (V)
      De même, la transformation du système b en a est
      (X Y Z ) (V) = (V)
      (X Y Z ) (V) = (V)
      (X Y Z ) (V) = (V)

      Les propriétés suivantes des matrices de rotation sont utiles pour la vérification des erreurs. (1) Chaque ligne et colonne est un vecteur unitaire. (2) Le produit scalaire de deux rangées ou de deux colonnes quelconques est égal à zéro. (3) Le produit croisé de deux lignes ou colonnes quelconques est égal à la troisième ligne ou colonne ou à son négatif. (La rangée 1 croise la rangée 2 équivaut à la rangée 3 la rangée 2 croise la rangée 1 équivaut à moins la rangée 3.)

      Le système inertiel équatorial géocentrique (GEI) a son X-axe pointant de la Terre vers le premier point du Bélier (la position du Soleil à l'équinoxe de printemps). Cette direction est l'intersection du plan équatorial de la Terre et du plan écliptique et donc l'axe X se trouve dans les deux plans. le Z-l'axe est parallèle à l'axe de rotation de la Terre et Oui complète l'ensemble orthogonal droitier (Y = Z X).

      C'est le système couramment utilisé dans les calculs d'astronomie et d'orbite des satellites. Les angles d'ascension droite et de déclinaison sont mesurés dans ce système. Si (V, V ,V) est un vecteur dans GEI de magnitude V, alors son ascension droite, , est tan (V / V), 0 o 180 o si V 0,180 o 360 o si V 0. Sa déclinaison, , est sin V / V, -90 o 90 o .

      Le système de coordonnées géographiques (GEO) est défini de telle sorte que son X-axe est dans le plan équatorial de la Terre mais est fixé avec la rotation de la Terre de sorte qu'il passe par le méridien de Greenwich (0 o longitude). Son Z-axe est parallèle à l'axe de rotation de la Terre, et son Oui-axis complète un ensemble orthogonal droitier (Y= Z X).

      Ce système est utilisé pour définir les positions des observatoires au sol et des stations émettrices et réceptrices. La longitude et la latitude dans ce système sont définies de la même manière que l'ascension droite et la déclinaison en GEI.

      Étant donné que les systèmes de coordonnées GEO et GEI ont leur Z-axes en commun, il suffit de connaître la position du premier point en Bélier (le X-axe de GEI) par rapport au méridien de Greenwich pour déterminer la transformation requise. Si nous laissons l'angle entre le méridien de Greenwich et le premier point du Bélier mesuré vers l'est à partir du premier point du Bélier dans l'équateur terrestre être 0, alors le premier point du Bélier est en (cos , -sin , 0) dans le système géographique et la transformation de géographique en GEI est

      (cos -sin 0) (V) = (V)
      (sin cos 0) (V) = (V)
      ( 0 0 1) (V)= (V)

      et la transformation inverse est

      (cos -sin 0) (V) = (V)
      (sin cos 0) (V) = (V)
      ( 0 0 1) (V) = (V)

      L'angle est, bien sûr, fonction de l'heure du jour et de la période de l'année, puisque la Terre tourne 366,25 fois par an autour de son axe dans l'espace inertiel, plutôt que 365,25 fois. Ainsi, la durée d'une journée, relative à l'espace inertiel, (une journée sidérale) est inférieure à 24 h. L'angle est appelé temps sidéral moyen de Greenwich et peut être calculé au moyen des formules données à l'annexe 2.

      3.3. COORDONNÉES GÉOMAGNETIQUES

      Le système de coordonnées géomagnétiques (MAG) est défini de telle sorte que son Z-axe est parallèle à l'axe du dipôle magnétique. Les coordonnées géographiques de l'axe dipolaire du champ international de référence géomagnétique 1965.0 (IGRF) sont 11,435 o colatitude et 69,761 o longitude est (Mead, 1970). Ainsi, le Z-axis est (0.06859, -0.18602, 0.98015) en coordonnées géographiques. le Oui-l'axe de ce système est perpendiculaire aux pôles géographiques tels que si D est la position du dipôle et S est le pôle sud Y=D S. Enfin, le X-axis complète un ensemble orthogonal droitier.

      Ce système est souvent utilisé pour définir la position des observatoires magnétiques. C'est également un système pratique pour effectuer le traçage des lignes de champ lorsque les systèmes actuels, en plus du champ interne de la Terre, sont pris en compte (Hydromel, 1970). La longitude magnétique est mesurée vers l'est à partir de la X-L'axe et la latitude magnétique sont mesurés à partir de l'équateur en méridiens magnétiques, positifs vers le nord et négatifs vers le sud. Ainsi, si (V, V, V) est un vecteur dans le système MAG de magnitude V alors sa longitude magnétique, , est
      tan (V /V), 0 o 180 o si V 0, 180 o 360 o si V 0 o . Sa latitude magnétique, , est sin V / V, -90 o 90 o .

      Sauf près des pôles, la longitude magnétique sera généralement d'environ 70 o supérieure à la longitude géographique. Notons qu'une représentation cartésienne simple du champ magnétique dipolaire existe dans ce système (voir Annexe 1).

      Ce système est fixe dans la Terre en rotation et donc la transformation du système de coordonnées géographiques vers le système géomagnétique est constante. A partir des définitions ci-dessus, nous obtenons

      (0,33907, -0,91964, -0,19826) (V) = (V)
      (0,93826, 0,34594, 0 ) (V) = (V)
      (0,06859, 0,18602, 0,98015 ) (V) = (V)

      3.4. SYSTÈME SOLAIRE ÉCLIPTIQUE GÉOCENTRIQUE

      Le système géocentrique de l'écliptique solaire (GSE) a son X-axe pointant de la Terre vers le Soleil et ses Oui-L'axe est choisi pour être dans le plan de l'écliptique pointant vers le crépuscule (s'opposant ainsi au mouvement planétaire). Son Z-L'axe est parallèle au pôle de l'écliptique. Par rapport à un système inertiel ce système a une rotation annuelle.

      Ce système a été utilisé pour afficher les trajectoires des satellites, les observations du champ magnétique interplanétaire et les données de vitesse du vent solaire. Le système est utile pour ce dernier affichage puisque l'aberration du vent solaire peut facilement être supprimée dans ce système car la vitesse de la Terre est d'environ 30 km/s dans le moins Oui direction. Cependant, étant donné que le seul effet important du mouvement orbital de la Terre dans les relations solaires terrestres est de provoquer l'aberration, d'autres choix de l'orientation de la Oui et Z-axes sur le X-axis ont été utilisés. Ceux-ci seront discutés plus tard.

      La longitude, comme pour le système géographique, est mesurée dans le X-Y avion de la X-axe vers le Oui-axe et latitude est l'angle de la X-Y plan, positif pour positif Z Composants.

      La transformation requise la plus courante dans le système GSE de celles discutées jusqu'à présent provient du système GEI. La direction du pôle écliptique (0, -0,398, 0,917) est constante dans le système GEI. le X-axe, la direction du Soleil, peut être obtenu en GEI à partir des équations de l'annexe 2. Si cette direction est (S, S, S), alors le Oui-axe dans GEI (Y, Y, Y) est

      et la transformation est

      (S S S ) (V ) = (V)
      (Y Y Y ) (V) = (V)
      (0 -0,398 0,917) (V) = (V)

      3.5. SYSTÈME SOLAIRE ÉQUATORIAL GÉOCENTRIQUE

      Le système solaire équatorial géocentrique (GSEQ) comme avec le système GSE a son X-axe pointant vers le Soleil depuis la Terre. Cependant, au lieu d'avoir son Oui-axe dans le plan de l'écliptique, le GSEQ Oui-L'axe est parallèle au plan équatorial du Soleil qui est incliné par rapport à l'écliptique. Notons que depuis le X-axe est dans le plan de l'écliptique et n'est donc pas nécessairement dans le plan équatorial du Soleil, le Z-l'axe de ce système ne sera pas nécessairement parallèle à l'axe de rotation du Soleil. Cependant, l'axe de rotation du Soleil doit se trouver dans le X-Z avion. le Z-axe est choisi pour être dans le même sens que le pôle écliptique, c'est-à-dire vers le nord.

      Ce système a été largement utilisé pour afficher des données de champ magnétique interplanétaire par le groupe de magnétomètres Ames (Colburn, 1969). We note that this system is useful for ordering data controlled by the Sun and therefore is an improvement over the use of the GSE system for studying the interplanetary magnetic field and the solar wind. However, for studying the interaction of the interplanetary medium with the Earth yet a third system is more relevant.

      The rotation axis of the Sun, R, has a right ascension of -74.0 o and a declination of 63.8 o . Thus R is (0.122, -0.424, 0.899) in GEI. To transform from GEI to GSEQ, we must know the position of the Sun (S , S, S) in GEI (see Appendix 2). Then the Oui-axis in GEI (Y, Y, Y) is parallel to R S. Note that since the cross product of two unit vectors is not a unit vector unless they are perpendicular to each other, this cross product must be normalized. Finally the Z-axis in GEI (Z, Z, Z) = S Y. Then

      (S S S) (V) = (V)
      (Y Y Y) (V) = (V)
      (Z Z Z) (V) = (V)

      Since both GSE and GSEQ coordinate systems have their X-axes directed towards the Sun, they differ only by a rotation about the X-axe. Thus the transformation matrix from GSE to GSEQ must be of the form

      (1 0 0 ) (V) = (V)
      (0 cos -sin ) (V) = (V)
      (0 sin cos ) (V) = (V)

      If the transformations from GEI to GSE and GEI to GSEQ are both known, then the angle may be determined by examining the angle between the Oui-axes in the two systems or the Z- axes (i.e. the angle between the vectors formed by the second row of each matrix or the third row). If these transformation matrices are not available, may be calculated from the following formula

      Sin = S.(0.031, -0.112, -0.049)/ |(0.122, -0.424, 0.899)| S

      where S is the position of the Sun in GEI and can be calculated from the formulas in Appendix 2. Since the Sun's spin axis is inclined 7.25 o to the ecliptic, ranges from -7.25 o (on approximately Dec. 5) to 7.25 o (on June 5) each year. The Sun's spin axis is directed most towards the Earth on approximately Sept. 5 at which time the Earth reaches its most northerly heliographic latitude. At this time equals 0.

      3.6. GEOCENTRIC SOLAR MAGNETOSPHERIC SYSTEM

      The geocentric solar magnetospheric system (GSM), as with both the GSE and GSEQ systems, has its X-axis from the Earth to the Sun. le Oui-axis is defined to be perpendicular to the Earth's magnetic dipole so that the X-Z plane contains the dipole axis. The positive Z- axis is chosen to be in the same sense as the northern magnetic pole. The difference between the GSM system and the GSE and GSEQ is simply a rotation about the X-axe.

      This system is useful for displaying magnetopause and shock boundary positions, magnetosheath and magnetotail magnetic fields and magnetosheath solar wind velocities because the orientation of the magnetic dipole axis alters the otherwise cylindrical symmetry of the solar wind flow. It also is used in models of magnetopause currents (Olson, 1969). It reduces the three dimensional motion of the Earth's dipole in GEI, GSE, etc., to motion in a plane (the X-Z plane). The angle of the north magnetic pole to the GSM Z-axis is called the dipole tilt angle and is positive when the north magnetic pole is tilted towards the Sun. In addition to a yearly period due to the motion of the Earth about the Sun, this coordinate system rocks about the solar direction with a 24 h period. We note that since the Oui-axis is perpendicular to the dipole axis, the Oui-axis is always in the magnetic equator and since it is perpendicular to the Earth-Sun-line, it is in the dawn-dusk meridian (pointing towards dusk). GSM longitude is measured in the X-Y plane from X envers Oui and latitude is the angle northward from the X-Y plane. However, another set of spherical polar angles is sometimes used. Here the angle, between the vector and the X-axis, called the Sun-Earth probe angle (SEP) or the Sun-Earth-satellite angle (SES) is the polar angle and the angle of the projected vector in the Y-Z plane is the azimuthal angle. It is measured from the positive Oui-axis towards the positive Z-axe.

      To transform from GEI to GSM we need to know both the position of the Sun in GEI and the position of the Earth's dipole axis. The position of the Sun S (S, S, S) can be obtained from Appendix 2. The position of the dipole D must be obtained by transforming from geographic coordinates (see Section 2). In geographic coordinates, the dipole is at 11.435 o colatitude and 69 .761 o east longitude (IGRF epoch 1965.0). Thus, D in geographic coordinates is (0.06859 -0.18602,0.98015). If D' is D transformed into GEI, the Oui-axis is

      We note that the normalizing factor occurs because D' and S are not necessarily perpendicular. Finally, Z is S Y and the transformation becomes

      (S S S ) (V) = (V)
      (Y Y Y) (V) = (V)
      (Z Z Z ) (V) = (V)

      The transformation matrix between GSM and GSE or GSEQ is of the form

      (1 0 0 )
      (0 cos -sin )
      (0 sin cos )

      However, since changes both with time of day and time of year, it is not derivable from a simple equation. However, if the transformation matrix from GEI to GSE, A and from GEI to GSM, A are both known, then the transformation from GSM to GSE is simple A, A where A is the transpose of A. An analogous formula holds for the transformation from GSM to GSEQ. We note that the amplitude of the diurnal variation of is 11.4 o which is added to an annual variation of 23.5 o .

      3.7. SOLAR MAGNETIC COORDINATES

      In solar magnetic coordinates (SM) the Z-axis is chosen parallel to the north magnetic pole and the Oui-axis perpendicular to the Earth-Sun line towards dusk. The difference between this system and the GSM system is a rotation about the Oui-axe. The amount of rotation is simply the dipole tilt angle as defined in the previous section. We note that in this system the X-axis does not point directly at the Sun. As with the GSM system, the SM system rotates with both a yearly and daily period with respect to inertial coordinates.

      The solar magnetic system is useful for ordering data controlled more strongly by the Earth's dipole field than by the solar wind. It has been used for magnetopause cross sections and magnetospheric magnetic fields. We note that since the dipole axis and the Z-axis of this system are parallel the cartesian components of the dipole magnetic field are particularly simple in this system (see Appendix 1).

      As for GSM, the transformation from GEI to SM requires a knowledge of the Earth Sun direction S, and the dipole direction D in GEI. Having obtained these as in Section 3.6, we find Y=(D S)/ ( D S ) and X=Y D. Then the transformation becomes

      (X X X ) (V) = (V)
      (Y Y Y) (V) = (V)
      (D D D) (V) = (V)

      The transformation from GSM to SM is simply a rotation about the Oui-axis by the dipole tilt angle . Thus

      (cos 0 -sin ) (V) = (V)
      ( 0 1 0 ) (V) = (V)
      (sin 0 cos ) (V ) = (V)

      3.8. DIPOLE MERIDIAN SYSTEM

      As with the solar magnetic system, the Z-axis of the dipole meridian system (DM) is chosen along the north magnetic dipole axis. However, the Oui-axis is chosen to be perpendicular to a radius vector to the point of observation rather than the Sun. The positive Oui direction is chosen to be eastwards, so that the X-axis is directed outwards from the dipole. This is a local coordinate system, in that it varies with position, however, since the X-Z plane contains the dipole magnetic field it is quite useful.

      It is used to order data controlled by the dipole magnetic field where the influence of the solar wind interaction with the magnetosphere is weak. It has been used extensively to describe the distortions of the magnetospheric field in terms of the two angles declination and inclination which can be easily derived from measurements in this system (Mead and Cahill, 1967). The inclination, je, is simply the angle that the field makes with the radius vector minus 90. Thus, if R is the unit vector from the center of the Earth to the point of observation in the DM system (we note that in this system Ry=0), and b is the direction of the magnetic field in the DM system, then je= cos (R b +R b) -90 o . The declination, , is measured about the radius vector with D=0 in the X-Z plane and positive D angles for positive b. Thus D=tan [b/(R b+R b)], 0 o D 180 o for 0 b 1 and 0 o D 180 o for 0 b -1. As in the SM system, the cartesian components of the dipole field can be expressed very simply in this system. In particular, B = 0 by definition.

      To transform from any system to the dipole meridian system we must know the dipole axis, D, in this system, and the unit position vector of the point of observation relative to the center of the Earth. Since Oui is perpendicular to R et then Oui = (D R)/( D R ) and X=D Y. Thus

      (X X X ) (V) = (V)
      (Y Y Y) (V) = (V)
      (D D D) (V ) = (V)

      We note that this transformation usually is particularly straight forward from geographic coordinates because the geographic latitude and longitude of a point of observation is often known and the dipole is fixed in geographic coordinates. From geomagnetic coordinates it is simple rotation about the Z-axis by the magnetic longitude. From solar magnetic co-ordinates, it is a rotation about the Z-axis by the angle between the projections of the Sun and the local radius vector in the magnetic equator.

      3.9. ATS-1 COORDINATE SYSTEMS

      Two coordinate systems have been used extensively in the analysis of the magnetometer data from the ATS-1 satellite which differ slightly from previously described coordinate systems. The ATS XYZ system is the coordinate system in which the ATS magnetometer data are originally obtained. le Z-axis is parallel to the Earth's rotation axis. Thus, it is parallel to the Z-axis of the geographic, and GEI systems. However, the Oui-axis is chosen perpendicular to the Earth-Sun line towards dusk. le X-axis completes a right handed orthogonal set. Ainsi, le X-Y plane is the Earth's rotational equator with X in the noon meridian.

      The other ATS coordinate system is ATS VDH. In this system H is chosen parallel to the Earth's spin axis. V is the local vertical. Since ATS-1 is in the Earth's equatorial plane, V is perpendicular to H. Finally, , completes the right-handed set (D = H V) and is azimuthal, eastwards in the equatorial plane. The transformation between the ATS XYZ and ATS VDH systems is

      ( cos sin 0) (B) = (B)
      (-sin cos 0) (B) = (B)
      ( 0 0 1) (B) = (B)

      3.10 OTHER COORDINATE SYSTEMS

      All the coordinate systems described so far have been geocentric and, with the exception of the dipole meridian system and the ATS VDH system, have been independent of the position of the point of observation. When considering measurements far from the Earth, it is often useful to choose coordinate systems which are dependent on the position of the observation point rather than the position of the Earth. For example, Coleman et al. (1969) use a system analogous to the GSEQ system but with the Mariner 4 - Sun line as the X-axe. We note, however, they have chosen their three axes anti-parallel to the axes of the analogous GSEQ system and thus their right-handed triad of coordinates is a noncyclic permutation of these three antiparallel vectors. For studying solar-planetary interactions, the required modifications to alter the transformations given in the previous sections to those relevant to the problem being considered should be obvious.

      However, there is another class of cartesian coordinate systems that can be used: those based on a local measurement. For example, one may wish to define a coordinate system in which the solar wind flow is parallel to one of the coordinate axes. This could be done in coordinate systems such as GSE, GSEQ and GSM by replacing the position of the Sun by the vector antiparallel to the observed solar wind flow. The second condition for choosing the coordinate system would be that the Oui-axis is perpendicular to the solar wind and the ecliptic pole (for GSE) and the Sun's rotation axis (for GSEQ) and the Earth's dipole (for GSM). However, we note that in GSE, the Z-axis will no longer necessarily be parallel to the ecliptic pole since the solar wind flow need not be in the ecliptic plane.

      Another way of choosing the system is to choose one axis along the measured magnetic field. As before, we are now left with the choice of the orientation of the other two axes about this one. In the solar wind it is often useful to choose one of these two axes perpendicular to the plane defined by the magnetic field and the solar wind flow velocity. In the magnetosphere, it is convenient to choose one of these two axes to be perpendicular to a dipole magnetic meridian.

      Finally, since it is much easier to visualize data and spacecraft trajectories in two dimensions rather than three, mention should be made of a two dimensional coordinate system in common use. Since the solar wind, neglecting the magnetic field is approximately cylindrically symmetric about the radial direction from the Sun, if it interacts with a figure of revolution about the Earth-Sun line such as a planet, the interaction should be the same in every plane containing the planet-Sun line. In other words, while the interaction may be a function of radial distance and the angle away from the planet-Sun line (SES or SEP angle in the case of the Earth), it is not a function of the azimuthal angle around the planet Sun line. The Earth's magnetosphere is not cylindrically symmetric about the solar wind flow. However, in the dawn-dusk plane the calculated magnetopause position should deviate less than about 20% from cylindrical (Olson, 1969). Thus, it is not unreasonable at times to assume cylindrical symmetry for the interaction.

      This coordinate system may be thought of in several ways. (1) It is a cylindrical coordinate system with the variables r, , Xr is the distance from the axis of the cylinder, X is the distance along the axis, and is the angle around the axis. In plotting a spacecraft trajectory in this system, we would plot r vs X. (2) It is a polar coordinate system where we plot the magnitude of the vector versus the angle between the vector and the planet-Sun line. (3) It is a two dimensional cartesian coordinate system where we plot the component along the planet-Sun line versus the square root of the sum of the squares of the other two components. This system has been used to describe the trajectory of spacecraft near encounters with other planets and to plot the positions of magnetopause and bow shock crossings by Earth orbiting spacecraft.

      Appendix 1. The Cartesian Representation of a Dipole Magnetic Field

      The usual representation of a dipole magnetic field is one which separates the field into a radial and tangential component. This gives the magnetic field in a local two dimensional coordinate system. However, a very simple representation of the field exists in a cartesian coordinate system also (Alfven and Falthammar, 1963). If (X, Y, Z) is the location of the point of observation in solar magnetic coordinates, the field due to the Earth's dipole is

      B = 3XZ (B/R)
      B = 3YZ (B/R)
      B = (3Z - R) (B/R)

      where R = X + Y +Z and B is the magnetic moment of the Earth. B is numerically equal to the field at the equator on the surface of the Earth if distances are measured in Earth radii.

      We note that the same formula is valid for any coordinate system which is a rotation about the dipole from the solar magnetic coordinate system. In particular, it is valid for the dipole meridian system in which case B =0. With the knowledge of the dipole tilt angle the above representation also allows a simple derivation of the dipole field in GSM coordinates (cf. Section 7).

      Appendix 2. The Calculation of the Position of the Sun

      G.D. Mead (private communication) has written a simple subroutine to calculate the position of the Sun in GEI coordinates. It is accurate for years 1901 through 2099, to within 0.006 deg. The input is the year, day of year and seconds of the day in UT. The output is Greenwich Mean Sideral Time in degrees, the ecliptic longitude, apparent right ascension and declination of the Sun in degrees. The listing of this program follows. We note that the cartesian coordinates of the vector from the Earth to the Sun are:

      Acknowledgements

      I am indebted to G. D. Mead for allowing the inclusion of his subroutine for the determination of the position of the Sun. I also wish to acknowledge many useful discussions of coordinate transformations with P. J. Coleman, Jr., D. S. Colburn, M. G. McLeod, G. D. Mead, W. P. Olson and R. L. Rosenberg. This work was carried out in support of the data reduction program of the UCLA OGO5 flux gate magnetometer and was supported by the National Aeronautics and Space Administration under NASA contract NAS 59098.

      Les références

      Colburn, D. S.: 1969, 'Description of Ames Magnetometer Data from Explorer 33 and 35 Deposited in the Data Bank', NASA/Ames Research Center Report.

      Coleman, P. J., Jr., Smith, E. J., Davis, L., Jr., and Jones, D. E.: 1969, J. Géophys. Rés. 74 (11), 26.

      Goldstein, H.: 1950, Classical Mechanics, Addison Wesley Publ. Co., Inc., Reading Massachusetts.

      Magnetic and Electric Fields Branch: 1970, `Coordinate Transformations Used in OGO Satellite Data Analysis', Goddard Space Flight Center Report, X-645-70-29.

      Mead, G. D.: 1970, J. Géophys. Rés. 75, 4372.

      Mead, G. D. and Cahill, L. J.: 1967, J. Géophys. Rés., 72 (11), 2737.

      Olson, W. P.: 1969, J. Géophys. Res. 74 (24), 5642.

      Olson, W. P.: 1970, `Coordinate Transformations Used in Magnetospheric Physics', McDonnell Douglas Astronautics Company Paper WD1145.

      Smart, W. M.: 1944, Text-Book on Spherical Astronomy, Fourth Edition, Cambridge Univ. Press, Cambridge.


      EA4EOZ, an amateur radio electronic enthusiast

      One of the most unexpectedly complicated things I have found during my research into determining the orbit of a meteor using Doppler measurements is the conversion between geographical coordinates and rectangular, or Cartesian coordinates, also called ECEF (Earth Centered Earth Fixed) coordinates:

      At first sight it seems easy: The earth is a sphere, so it only need a few sines and cosines. But later, when you need more precision, you discover earth is not a sphere, it is an ellipsoid, so things start to become problematic.
      Later, you discover the ellipsoid you are using is not the ellipsoid used by the rest of the world. Most of the world uses WGS 84 (including GPS) and your coordinates are GPS based, so you need to use the right formulas to do the conversion.

      There is a lot of literature on Internet about this, but as soon you start to read you discover a big problem. Conversion from longitude, latitude and altitude is easy and straightforward, for example in Octave code:

      Note: I wrote the functions in Octave/Matlab code without advanced functions to make the task of porting to other languages easy. For example, many sqrt instructions can be written in a more clear way using Octave's norm function.

      Surprisingly, WGS 84 has no inverse model: you can calculate Cartesian coordinates easily from WGS 84 latitude, longitude and altitude. But going from Cartesian coordinates to WGS 84 latitude, longitude and altitude is very tricky.

      There are two methods to make the conversion. The first one involves making iterations, so conversion precision is function of the number of iterations and convergence criteria. I want a simple and fast conversion, so I discarded this option.

      The other method is a simple algorithm:

      Well, I just said there is no inverse model, and now I show you a simple algorithm to make the conversion. What is the catch? The catch is this algorithm only works for points situated at altitude = 0, or really close to 0. If you play with it, you will find out it works fine finding latitude and longitude, but fails with altitude.

      • Get longitude, latitude and altitude with xyz2lla using desired x, y, z values.
      • Discard altitude and get ground coordinates of calculated latitude and longitude using lla2xyz(lon,lat,0)
      • Call this new ground Cartesian coordinates gx, gy, gz
      • Get the module of vectors [x y z] and [gx gy gz].
      • Altitude is the distance between points x,y,z and gx,gy,gz. Subtract length of vector [gx gy gz] to length of vector [x y z] to get altitude.

      In Octave code can be implemented in this way:

      To test this function, I wrote this small Octave script to create 100000 conversions. It generates points at random latitude, longitude and altitude, converts them to X-Y-Z values, and then, it uses the X-Y-Z values to calculate latitude, longitude and altitude using my modified xyz2lla function.. At the end, a small report is presented:

      And the output of this little script in my system is:

      As you can see, the RMS error in altitude is a little bit under 1.6 meters, not bad for such simple function.